CONTROLE OPTIMALE PAR MAGNETOCOUPLEURS

Voir le cours général sur la commande par magnétocoupleur

	CONTENU : Mis à jour 8 février 1999, revu avril 2012  I Présentation générale du problème II Commande optimale III Résolution du problème de la commande optimale Principe de Pontryaguine Résultat: calcul commande optimale IV Simulation Calcul pratique de la matrice P Remarques sur le procédé

Cette étude présente des considérations générales relatives à la commande optimale et naturellement des remarques et application spécifiques au projet en cours. L'auteur rédacteur de la page, n'est pas le spécialiste qui a mis au point ces lignes. L'auteur s'est contacté de la présentartion pédagogique, en pensant qu'il doit comprendre et expliquer ce qu'il écrit.

I PRESENTATION GENERALE :

Envisageons par exemple le cas d'un micro satellite, stabilisé par gradient de gravité et des magnétocoupleurs, interagissant avec le champ magnétique terrestre B(t) existant à l'endroit où se trouve le satellite à l'instant t.

La stabilisation des oscillations autour d'une attitude choisie, consiste à générer dans le satellite, un moment magnétique M ( vecteur à 3 composantes ) de matrice

M = (M_x M_y M_z)^T

Ceci par une électronique appropriée, pilotée par des capteurs et une informatique de traitement des mesures et de génération de la commande (problème de bruits, filtrage de Kalman pour le calcul de l'estimation des mesures des angles et des vitesses angulaires, commande par matrice de contre-réaction). Des courants adéquats sont alors générés et envoyés dans des bobines pour créer M.

Le satellite est alors piloté et stabilisé grâce à un couple de commande Mc, résultant de l'interaction entre le moment magnétique et le champ magnétique terrestre local, pour générer un couple mécanique Mc. Voir la page sur les magnétocoupleurs

A la base de cette automatique, il y a le fameux vecteur m dit de commande m = (m_x m_y m_z)^T qui dans la page citée ci-dessus est en loi proportionnelle dérivée sur les 3 axes.

Tous calculs effectués, on obtient alors défini la relation

Mc = S m

( ATTENTION POUR LA SUITE : conformément aux notations classiques de la représentation d'état des systèmes m désigne l'entrée U du système satellite+magnétocoupleurs).

La matrice S est fonction du temps par l'intermédiaire du champ magnétique terrestre, mais également des angles de roulis, lacet, tangage, car ce sont les composantes de B dans le référentiel satellite qui sont utilisées.

A la fin de ce chapitre, on verra comment on peut avec une excellente approximation, résoudre, malgré la présence des angles, le problème de la commande optimale.

Voici donc la forme des équations générales adaptées au cas particulier des magnétocoupleurs, sous forme d'équation d'état.

correspondant au diagramme fonctionnel suivant :

B désigne ici la matrice d'entrée du satellite et non le champ magnétique terrestre.

On supposera que Y = X soit C = I et D* = 0.

Dans le cas du satellite A et B sont des matrices invariantes, à la différence de B*=BS qui dépend de la matrice variante S(t).

II PROBLEME DE LA COMMANDE OPTIMALE :

1°) Que signifie commande optimale?

On souhaite piloter (grâce à la commande U) le système de manière à ce qu'il satisfasse de la meilleure façon possible des spécifications portant sur le vecteur d'état et la consommation énergétique, au sens d'un certain critère à formuler de manière explicite.

2°) Quel critère?

Par exemple, pour notre micro-satellite suite à une perturbation ou sous l'effet de perturbations toujours présentes, on désire un retour à la position pointage Terre le plus rapide possible, avec le plus de précision possible, une consommation minimale d'énergie et une stabilisation durable.

Il nous faudra donc exprimer cette idée et naturellement accepter peut-être de privilégier la précision au détriment de la consommation d'énergie ou le contraire suivant les spécifications de la mission et le coût maximum des équipements. En un sens il nous faudra pondérer les qualités souhaitées.

3°) Comment quantifier les qualités précédentes?

Les théoriciens de l'automatique mathématique ont montré que si l'on exprime le critère sous la forme de la minimisation d'une expression quadratique du vecteur d'état X et de la command U, le problème peut se traduire mathématiquement et admet une solution analytique.

Dans le cas des systèmes linéaires (ou linéarisés autour d'un point de fonctionnement comme pour le satellite petits angles), la solution s'exprime en faisant apparaître que la commande optimale dépend linéairement du vecteur d'état [ U*(t)=-K(t)X(t) ]

a) Comment traduire la convergence vers un état final souhaité?

Donnons-nous une position finale idéale sous la forme d'un vecteur connu, l(t₁)_,  où t₁ est l'instant final.

Dans le cas du satellite qui nous intéresse le vecteur d'état X représente les angles de dépointage et les vitesses angulaires. La valeur finale souhaitée est alors nulle à l'instant t1.

On introduit alors une MATRICE M DE PONDERATION symétrique réelle, semi-définie positive et on pose la fonctionnelle à minimiser:

Suivant la grandeur des coefficients de M, on pourra donc demander plus de précision sur tel ou tel angle ou vitesse angulaire, en augmentant le facteur de pondération.

En clair et intuitivement, un grand coefficient ne peut supporter d'être multiplié par une quantité importante, d'autant plus que dans un critère quadratique c'est le carré de la quantité qui intervient.

Par exemple ci-après les coefficient M₁₁ et M₂₂ sont prépondérants désignant le critère comme devant apporter de la précision sur l'angle de roulis et la vitesse de roulis, au détriment des autres angles ou vitesses angulaires.

b) Comment traduire que le vecteur d'état du système soit aussi proche que possible d'une solution prédéterminée l(t)?

Cette qualité du système peut être appréhendée par la somme des écarts entre le vecteur d'état et la solution idéale tout au long du temps, avec de toute évidence une approche asymptotique quand le temps augmente indéfiniment, pour assurer la convergence de l'intégrale. 

La matrice de pondération Q symétrique réelle, définie positive peut, par la grandeur relative de ses coefficients, favoriser la précision d'un paramètre particulier au détriment des autres.

c) Comment traduire la consommation d'énergie?

Il y a de fortes chances pour que le vecteur de commande U soit directement lié à la consommation globale . Minimiser l'énergie de la commande permettra de minimiser l'énergie globale.

Tout au long de l'évolution du système, il nous faut donc sommer l'énergie consommée ce qui se fait par l'intermédiaire de la quantité:

avec les mêmes remarques que précédemment sur la matrice R définie positive et la pondération de R.

Conclusion: formulation générale du critère:

La commande est dite optimale si l'évolution du système a lieu en minimisant J.

Le choix des matrices M, Q, R est une affaire d'expérience et de sens physique.

III RESOLUTION DU PROBLEME DE LA COMMANDE OPTIMALE EXPRIMEE DANS LE CAS DU SATELLITE :

1°) Formulation mathématique du problème :

On veut stabiliser le satellite par un RETOUR D'ETAT _, où la matrice K des 18 gains s'écrit:

Par exemple le moment magnétique de la bobine placée sur l'axe x vaut durant la commande:

Les coefficients à 2 indices désignent les couplages. Telle est la commande la plus générale.

Cette matrice K est fonction du temps si les matrices A et B* sont variantes. On mesure alors la complexité du problème.

Le schéma - bloc du système est le suivant: 

Comment déterminer la MATRICE DE GAIN K réalisant la commande optimale c'est à dire minimisant la fonctionnelle J ? La réponse est donnée en 2°

2°) Principe du minimum de PONTRYAGUINE :

Limitons le théorème au cas particulier qui nous occupe et dans lequel, il est souhaité un retour vers 0 du vecteur d'état. Ainsi l (t1) = 0

On rappelle aussi que B* = B(t) S(t) , que le vecteur de sortie et d'observation est Y = X, la matrice D est donc ici nulle et C = I matrice identité d'ordre 6.

Indiquons tout de même que sur le plan théorique nous avons les équations traduisant le principe du minimum de H:

On retrouve la forme classique des équations écrites avec un hamiltonien et des variables conjuguées.

THEOREME

La recherche de la commande optimale U = - KX , donc de la matrice de gain K, d'un système à équation d'état ( dite équation de contrainte )

  et variable de sortie Y telle que , minimisant le critère quadratique J

est équivalente à la recherche du minimum (dit Principe du minimum de Pontryaguine) qui consiste à traduire le minimum de la fonction H

appelée HAMILTONIEN associé au problème.

µ s'appelle le multiplicateur indéterminé de Lagrange associé à la contrainte

Il n'est pas question de démontrer ici ce théorème, ni même le résultat fondamental qui suit. Ce résultat est directement utilisable dans tous les cas où les matrices A et B ne dépendent que du temps.

RESULTAT PRATIQUE CAPITAL ET UTILISABLE:

La matrice de gain K solution de la commande optimale est donnée par:

où P vérifie une équation dite de Ricatti:

complètement définie par la condition au temps final t1:

IV PROCEDURE DE SIMULATION :

1°) Calcul de P connaissant A, B, S, R, Q, M.:

Le résultat ci-dessus appelle la remarque suivante: la condition au temps t₁ joue le rôle d'une condition initiale, il faut donc intégrer l'équation à "rebours".

Ce qui signifie qu'en pratique on posera une nouvelle variable t = t₁-t appelée temps restant et qu'on intégrera l'équation

On achèvera par

2°) Remarques importantes :

Le Cdt Godard, qui a posé et résolu le problème théorique, a eu des idées et réflexions décisives en remarquant que :

o Kalman a démontré mathématiquement que, lorsque le temps d'observation t1 était grand, et les matrices A et B invariantes, la matrice de Ricatti P était constante sur la majeure partie de la durée du processus.

L'influence réelle de l'erreur terminale représentée par la matrice M n'apparaît donc qu'à la fin du processus.

En outre la théorie de la commande optimale linéaire quadratique suppose que les matrices A et B* = BS ne dépendent pas d'autres variables que le temps. Ce qui n'est pas le cas ici puisque S dépend aussi des angles du satellite, nécessaires au calcul de la projection du champ magnétique du repère orbital vers le repère satellite.

o Puisque le SCAO ne fonctionne qu'aux petits angles ( fonctionnement nominal en régulation autour de X=0 ), l'hypothèse simplificatrice qui consiste à dire que le champ magnétique est le même en axes orbitaux et en axes satellites, permet de s'affranchir de la contrainte de dépendance par rapport aux angles.

S devient alors déterministe du temps ( comme le champ magnétique vu du repère orbital ). Le calcul préalable de P(t) donc de K(t) devient alors possible avec comme valeur de S:

o Le champ magnétique terrestre est une fonction vectorielle périodique du temps dans le repère orbital, de période égale à la période orbitale T du satellite.

En supposant t1 grand pour s'affranchir de l'influence de M, on obtiendra non pas une solution constante pour P mais une solution périodique de période T.

En prenant ainsi t1 = 3T par exemple, si la résolution de l'équation de Ricatti montre que P(t) est bien périodique sur les 2 premières périodes, on pourra utiliser les 2 résultats pratiques fondamentaux suivants:

o 1 La matrice K est périodique de période T. Il suffit donc de mémoriser cette matrice dans une mémoire et y chercher les valeurs adéquates des gains en fonction de la position du satellite sur l'orbite et non du temps.

o 2 la commande ne dépend plus du temps t1 qui peut être repoussé à l'infini. ( en fait durée de vie du satellite). Cette commande donc s'applique en permanence et elle est d'autant plus efficace que les angles sont petits.

Il faut être conscient que cette commande optimale est approximative si les angles satellite ne sont pas négligeables, ce qui peut être le cas dans les conditions initiales après la mise en orbite en phase d'acquisition.

On réalisera alors la simulation du SCAO du satellite avec la matrice K calculée en 1°.

Naturellement, il faut prendre dans cette simulation, la matrice S(t,f,y,q) exacte donnée à la page 1.

On recommencera autant de fois que nécessaire, avec des pondérations différentes des matrices M, Q, R, jusqu'à obtenir des résultats satisfaisants au regard des spécifications imposées à la mission.

Nous pouvons affirmer, pour les avoir testés, que les résultats sur K(t) sont très sensibles à des variations du simple au double des coefficients de pondération dans M, Q, R.

Il est conseillé dans ce problème de prendre R=I et de jouer surtout sur la grandeur relative des coefficients de Q par rapport à ceux de R. La matrice M que nous avons toujours prise égale à Q ne joue pas vraiment un grand rôle quand le temps final t₁ est grand

On fera une mise au point définitive du SCAO en simplifiant éventuellement la commande , après avoir constaté que des gains trop petits ne jouent aucun rôle. Les simulations valideront alors ces hypothèses simplificatrices.

En fin d'étude on choisira les magnétocoupleurs qui satisfont physiquement aux spécifications de la mission, et qui supportent les gains calculés précédemment ( choix du moment magnétique maximum ).

Remarque finale : il serait intéressant de tester et éventuellement valider une commande optimale sur un micro-satellite en orbite elliptique où le problème du pointage stabilisé Terre est particulièrement difficile lors du passage au périgée.

Résultat d'une coopération à l'Ecole de l'Air en 1993 : essentiellement Cdt Godard (automatique) + M Guiziou (mécanique spatiale et rédaction), revu février 1999